Estymacja parametrów modelu regresji liniowej


Estymacja parametrów modelu regresji liniowej.

Naszym celem jest znalezienie na podstawie obserwacji "dobrych" oszacowań parametrów 0x01 graphic
w modelu regresji

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

..................................................................

0x01 graphic
,

Dokonamy tzw. estymacji parametrów modelu.

Znanych jest wiele różnych metod estymacji; my wykorzystamy najbardziej rozpowszechnioną wśród ekonometrów metodę najmniejszych kwadratów, w skrócie MNK. Estymatory otrzymywane tą metodą nazywamy estymatorami NK. Mają pożądane przez statystyków własności nieobciążoności i efektywności. Noszą one także nazwę najlepszych liniowych nieobciążonych estymatorów parametrów regresji (estymatory BLUE).

Estymatory NK będziemy oznaczać 0x01 graphic
:

estymator 0x01 graphic
oszacowuje (estymuje) parametr 0x01 graphic
,

estymator 0x01 graphic
oszacowuje (estymuje) parametr 0x01 graphic
,

estymator 0x01 graphic
oszacowuje (estymuje) parametr 0x01 graphic
,

................................................................................

estymator 0x01 graphic
oszacowuje (estymuje) parametr 0x01 graphic
.

Oszacowane równanie regresji jest postaci

0x01 graphic
,

a wielkości

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

........................................................

0x01 graphic
,

(w zapisie macierzowym:

0x01 graphic
,

gdzie

0x01 graphic
0x01 graphic
, 0x01 graphic
0x01 graphic
.)

nazywamy wartościami teoretycznymi (dopasowanymi) zmiennej y.

Zaobserwowane wartości zmiennej y można zapisać w postaci

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

..................................................................

0x01 graphic
,

(w zapisie macierzowym:

0x01 graphic
,

gdzie

0x01 graphic
0x01 graphic
.)

gdzie

0x01 graphic
,

zaobserwowaną resztą (błędem), czyli różnicą między wartością zaobserwowaną a wartością teoretyczną leżącą na "powierzchni" regresji.

Estymatory NK parametrów regresji są tak wyznaczone, że suma kwadratów reszt

0x01 graphic

jest najmniejsza wśród wszystkich możliwych sum kwadratów reszt obliczanych dla innych możliwych estymatorów parametrów regresji.

Do znalezienia estymatorów NK wykorzystuje się metody szukania minimów funkcji wielu zmiennych. Po odpowiednich obliczeniach otrzymuje się następujące wzory (w zapisie macierzowym):

0x01 graphic
,

gdzie 0x01 graphic
oznaczają odpowiednio macierz transponowaną i macierz odwrotną do macierzy 0x01 graphic
.

Uwaga. W przedstawianym wykładzie zakładamy, ze rozważane macierze odwrotne istnieją. Nie będziemy szczegółowo dyskutować tego założenia i zastanawiać się co się będzie działo, gdy nie będzie ono spełnione.

0x01 graphic
.

0x01 graphic
.

Przykład Rozważmy następujące dane

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

-43,6

27

34

3,3

33

30

-12,4

27

33

7,6

24

11

11,4

31

16

5,9

40

30

-4,5

15

17

22,7

26

12

-14,4

22

21

-28,3

23

27

Stąd otrzymujemy

0x01 graphic
0x01 graphic
, 0x01 graphic
0x01 graphic
.

Obliczamy

0x01 graphic
0x01 graphic
,

0x01 graphic
0x01 graphic

i ostatecznie

0x01 graphic
0x01 graphic
.

Oszacowany związek regresyjny jest więc postaci

0x01 graphic
.

4

3



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
3-Estymacja parametrów modelu regresji liniowej, # Studia #, Ekonometria
Estymacja parametrów modelu regresji liniowej 2
3 Istotność parametrów modelu regresji liniowej
4 estymacja parametrów jednorównaniowego liniowego modelu ekonometrycznego
6 własności estymatora parametrów klasycznego modelu liniowego uzyskanego metodą najmniejszych kwadr
Estymacja parametrow strukturalnych modelu, Ekonometria
10 regresja liniowa prim, Parametry dwuwymiarowych zmiennych losowych
zadanie 2- regresja liniowa, Statyst. zadania
06.regresja liniowa, STATYSTYKA
L4 regresja liniowa klucz (2)
11 regresja liniowa bis, Wariancja empirycznych współczynników a i b regresji liniowej

więcej podobnych podstron