Wykład 12

SZEREGI CZASOWE

Na rozwój zjawiska w czasie mają wpływ najczęściej następujące cztery czynniki:

• trend - długookresowe, systematyczne zmiany jakim podlega określone zjawisko w czasie;

• wahania sezonowe - regularne odchylenia od tendencji rozwojowej (trendu);

• wahania cykliczne - wahania związane z cyklem koniunkturalnym;

• wahania przypadkowe - wszystkie nieregularne zmiany.

 

Szereg bez trendu

Nr tygodnia	Liczba sprzedawanych samochodów w szt.
1	15
2	17
3	12
4	16
5	15
6	11
7	18
8	17
9	13
10	16

szt.

Średnia ruchoma

• z nieparzystej liczby okresów z trzech okresów

• z parzystej liczby okresów z czterech okresów

tzw. średnia scentrowana

		Średnia
t	y	3-okresowa	4-okresowa	5-okresowa	6-okresowa
1	15
2	17	14,67
3	12	15,00	14,5	15
4	16	14,33	15,125	14,2	14,58
5	15	14,00	14,125	14,4	14,83
6	11	14,67	14,625	15,4	14,92
7	18	15,33	15,375	14,8	15,00
8	17	16,00	13,375	15
9	13	15,33
10	16

Prognoza

T	y	3-okresowa	et	et^2	wet^2	4-okresowa	et	et^2	wet^2
1	15
2	17
3	12
4	16	14,67	1,33	1,78	0,006953
5	15	15,00	0,00	0,00	0	15	0,00	0,00	0
6	11	14,33	-3,33	11,11	0,091818	15	-4,00	16,00	0,132231
7	18	14,00	4,00	16,00	0,049383	13,5	4,50	20,25	0,0625
8	17	14,67	2,33	5,44	0,018824	15	2,00	4,00	0,013841
9	13	15,33	-2,33	5,44	0,032189	15,25	-2,25	5,06	0,029941
10	16	16,00	0,00	0,00	0	14,75	1,25	1,56	0,006094
11	15	15,33	x	39,78		16	x	46,88

 

Błąd prognozy wyznacza się natomiast w momencie dokonania pomiaru rzeczywistej wartości zmiennej prognozowanej w okresie t=1,2,...,T i jest on różnicą między wartością prognozy i zaobserwowaną wartością zmiennej prognozowanej, czyli:

Bezwzględny błąd prognozy, który wyrażany jest w tych samych jednostkach co zmienna prognozowana.

Charakterystyką dokładności prognoz jest średni błąd kwadratowy

W praktyce wygodnie jest posługiwać się błędem względnym postaci:

który informuje o procentowych odchyleniach prognozy od rzeczywistej wartości zmiennej prognozowanej dla kolejnych okresów czasu.

W celu wyznaczenia średniego błędu dla całego horyzontu prognozy wykorzystuje się najczęściej tzw. błąd średniokwadratowy postaci

który informuje o średnim względnym odchyleniu prognozy od wartości rzeczywistej dla całego horyzontu prognozy, czyli t=1,2,...,T.

Szereg czasowy z trendem

Szereg czasowy z trendem i sezonowością

Do analizy takiego szeregu i prognozowania zjawiska na przyszłość wykorzystuje się metody dekompozycji, polegające na wyodrębnieniu poszczególnych czynników określających zmienność tego zjawiska w czasie.

W procesie dekompozycji wyróżniamy następujące etapy:

• wygładzanie szeregu czasowego;

• wyznaczenie czynnika sezonowego,

• oddzielenie trendu i czynnika cyklicznego w wygładzonym szeregu.

Metody wygładzania szeregu:

• mechaniczna - średnia ruchoma;

• analityczna - funkcja trendu - prosty model regresyjny.

Uwolnienie szeregu czasowego od trendu:

• dla modelu multiplikatywnego - charakteryzującego się względną stałością wahań sezonowych
  

dla t=1,2,..,n

• dla modelu addytywnego - charakteryzującego się absolutną stałością wahań sezonowych
  

dla t=1,2,..,n

Eliminacja wahań przypadkowych z wielkości w_t - dla jednoimiennych okresów obliczamy średnie arytmetyczne z wyrazów w_t , które nazywany surowymi wskaźnikami sezonowości

i=1,2,...,k

s- liczba jednoimiennych okresów;

k - liczba faz wahań w cyklu.

Surowe wskaźniki sezonowości informują o ile poziom zjawiska jest wyższy lub niższy od poziomu, jaki byłby osiągnięty, gdyby nie było wahań, a rozwój następował by zgodnie z trendem.

Czyste wskaźniki sezonowości - surowe wskaźniki sezonowości dzieli się przez średnią arytmetyczną wskaźników surowych. Suma otrzymanych wskaźników jest równa liczbie faz wahań okresowych.

Przykładowy egzamin

1. Podaj definicję zmiennej losowej i jej rodzaje.

2. Od czego zależy liczba klas w szeregu rozdzielczym o przedziałach klasowych?

3. Kiedy do wyznaczenia średniej stosuje się miary klasyczne?

4. Kiedy i po co wyznacza się poprawkę Shepparda

.

5. Wiedząc, że w pewnym Towarzystwie Kredytowym stopa procentowa wkładów terminowych 5-letnich wynosi 34% rocznie oblicz kwotę, jaką wypłaci Towarzystwo po 5 latach od zdeponowanego w nim wkładu w wysokości 10000 złotych.

6. Zdefiniuj maksymalny błąd szacunku?

7. Jakie błędy mogą być popełnione w trakcie weryfikacji hipotez statystycznych. Zdefiniuj każdy z nich.

1

66

---